| Главная » Статьи » Статьи » Научные статьи |
Лекция по теме "Дифференциальные уравнения" (Математика)
| Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальными уравнениями называют уравнения, в которых содержатся производные неизвестных функций. Если неизвестные функции являются функциями только одного независимого переменного, то уравнения называются обыкновенными, в противном случае - дифференциальными уравнениями в частных производных. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Например, уравнения являются уравнениями первого порядка, а уравнения - уравнениями второго порядка. Любое обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с одной неизвестной функцией y аргумента x можно записать в виде , где: 1. F - известная функция своих аргументов, и 2. n-ая производная обязательно содержится в уравнении. Решением дифференциального уравнения на промежутке называется функция : 1. - раз дифференцируемая на этом промежутке 2. при подстановке ее вместо в уравнение обращает его в тождество на всем промежутке . График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. В теории ДУ под символом понимают какую-нибудь одну первообразную, а постоянную интегрирования пишут отдельно: Иногда решение получают в параметрическом виде где - параметр или в неявной форме , Одной из задач теории дифференциальных уравнений является интегрирование уравнений в квадратурах, т.е. в получении замкнутой формулы, дающей (в явной, неявной или параметрической форме) выражение зависимости того или иного решения от аргумента, через заданные функции и интегралы от них. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла. Дифференциальное уравнение первого порядка записы-вается в виде где - независимая переменная, - его неизвестная функция, a заданная функция трех переменных в некоторой области пространства трех переменных. Если это уравнение может быть разрешено относительно производной , то получим уравнение вида (2) где - известная функция, определенная в некоторой области на плоскости . Такое уравнение называют уравнением в нормальной форме. Рассмотрим геометрическую интерпретацию уравнения (2) Пусть означает некоторое решение этого уравнения, а -произвольную точку на графике этого решения. Проведем касательную к этому решению в точке и обозна-чим через угол, который образует эта касательная с осью . Тогда Но в силу уравнения (2) Поэтому Таким образом угол наклона касательной к интегральной кривой в любой ее точке определен правой частью диффе-ренциального уравнения (2). Укажем направления касательных к интегральным кривым уравнения единичным вектором с серединой в точке и получим в области поле направлений. Решить дифференциальное уравнение означает найти все кривые, которые в каждой своей точке имеют направление, совпадающее с направлением поля. Для построения поля направлений удобно рассматривать геометрические места точек, в которых касательные к инте-гральным кривым сохраняют постоянное направление. Кри-вая, в каждой точке которой направление поля, определяемое уравнением , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения. Уравнения изоклин уравнения имеют вид где Задача Коши. Найти решение уравнения удовлетворя-ющее условию (3) где и любые числа, для которых определена функция Условие (3) называют начальным условием, числа и - начальными значениями решения уравнения (2), а саму задачу - задачей Коши или начальной задачей. С геометрической точки зрения задача Коши состоит в нахож-дении интегральной кривой, проходящей через данную точку Решение задачи Коши единственно, о чем говорит следую-щая теорема. Теорема 1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , то какова бы ни была точка области , существует единственное решение этого уравнения, определенное в некотором интервале, содержащем точку и удовлетворяющее условию . Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая указанного уравнения или, другими словами, вся область покрыта интегральными кривыми уравнения, которые нигде не пересекаются между собой. Общее, частное и особое решения. Если закрепить начальное значение абсциссы , а началь-ному значению придавать различные допустимые значения то каждому такому значению будет соот-ветствовать единственная интегральная кривая и в области множество всех интегральных кривых образует семейство кривых, зависящих от одного параметра, который может изменяться в определенных пределах и который принято обозначать через , так что все семейство интегральных кривых может быть описано уравнением (4) Функция непрерывно дифференцируемая по называется общим решением уравнения в области , если она удовлетворяет следующим условиям: 1) равенство разрешимо в области относительно произвольной постоянной : 2) функция является решением уравнения для всякого значения постоянной , полученной выше, где точка - любая точка из области . Чтобы решить задачу Коши для любых начальных значений из области надо заменить в формуле (4) переменные и числами и , решить полученное уравнение относительно , т.е. получить соотношение и подставить найденное значение в общее решение . Полученная функция и есть искомое решение. Общее решение уравнения записанное в виде, не разрешенном относительно искомой функции, т.е. в виде называют общим интегралом этого уравнения. Решение, которое получается из общего решения если в нем произвольной постоянной придать конкретное значение, называется частным решением. Решение, которое не может быть получено из общего решения (общего интеграла) ни при каком конкретном значении произвольной постоянной, называется особым решением. Геометрически ему соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение (общий интеграл). Через каждую точку такой интегральной кривой проходит, по крайней мере, еще одна интегральная кривая из общего решения того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если правая часть его представляется в виде произведения функции, зависящей только от аргумента , на функцию, зависящую только от искомой функции и его можно записать в виде: (5), где: 1. функция f(x) определена на интервале (a;b), 2. функция f(x) непрерывна на интервале (a;b), 3. функция g(y) определена на интервале (c;d), 4. функция g(y) не обращается в нуль на интервале (c;d), 5. функция g(y) имеет непрерывную производную на интервале (c;d). Пусть функция g(y) обращается в нуль при некотором , т.е. . Подставим в уравнение : и . Значит решение этого уравнения. При этом оно не содержится в соотношении , а значит будет являться особым решением. Уравнение с разделяющимися переменными в симметричной форме: где функции заданы и непрерывны соответственно в интервалах (а,b) и (c,d) соответственно . Причем Если и - однородные функции одной и той же степени, которые непрерывны в некоторой области и не обращаются одновременно в нуль ни в одной точке этой области, то дифференциальное уравнение также является однородным и с помощью подстановки приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка О! Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно может быть записано в виде О! Если , то уравнение называют линейным однородным уравнением или линейным уравнением без правой части. Иначе - линейным неоднородным уравнением. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Метод И.Бернулли Представим y(x) в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых функций одна из которых может быть выбрана по нашему желанию, а другая определяется с помощью самого уравнения, так что : | |
| Категория: Научные статьи | Добавил: Warkl (08.04.2012) | |
| Просмотров: 1015 |
| Всего комментариев: 0 | |